1Principe de la résolution graphique
La résolution graphique consiste à utiliser la représentation graphique d'une ou plusieurs fonctions pour trouver les solutions d'une équation ou d'une inéquation, sans calcul algébrique. Les solutions sont lues directement sur le graphique.
Résoudre f(x) = k graphiquement, c'est trouver tous les points de la courbe Cf dont l'ordonnée vaut k. Leurs abscisses sont les solutions.
Résoudre f(x) = g(x) graphiquement, c'est trouver les points d'intersection des courbes Cf et Cg. Leurs abscisses sont les solutions.
Équation → points d'intersection
f(x) = k→ courbe ∩ droite horizontale y = kf(x) = g(x)→ courbe Cf ∩ courbe Cg
Inéquation → position relative
f(x) > k→ Cf au-dessus de y = kf(x) > g(x)→ Cf au-dessus de Cg
2Résoudre f(x) = k graphiquement
- Repérer la valeur k sur l'axe des y (axe vertical).
- Tracer la droite horizontale d'équation
y = k. - Repérer tous les points d'intersection de cette droite avec la courbe Cf.
- Lire les abscisses de ces points : ce sont les solutions de
f(x) = k.
La droite y = 2 coupe la parabole en deux points d'abscisses −√2 ≈ −1,41 et √2 ≈ 1,41.
On ne peut pas lire les valeurs exactes de √2 sur le graphique, mais on peut en obtenir une valeur approchée. La résolution algébrique confirme : x² = 2 ⟹ x = ±√2.
La droite y = 3 coupe la droite f(x) = 2x − 1 en un seul point.
Graphiquement, on lit que ce point a pour abscisse x = 2.
Vérification algébrique : 2×2 − 1 = 3 ✓
Résoudre x² = −1 graphiquement : la droite y = −1 est en dessous de la parabole x² qui est toujours positive ou nulle. Aucun point d'intersection → pas de solution dans ℝ.
3Résoudre f(x) = g(x) graphiquement
- Tracer les courbes Cf et Cg dans le même repère.
- Repérer tous les points d'intersection des deux courbes.
- Lire les abscisses de ces points : ce sont les solutions de
f(x) = g(x).
Les deux courbes se croisent en x = −1 et x = 3.
Vérification : (−1)² = 1 et 2×(−1)+3 = 1 ✓ ; 3² = 9 et 2×3+3 = 9 ✓
La résolution graphique donne des valeurs approchées lorsque les solutions ne sont pas des valeurs entières ou simples. Pour obtenir des valeurs exactes, on utilise la résolution algébrique.
4Résoudre f(x) > k et f(x) < k
- Tracer la courbe Cf et la droite horizontale
y = k. - Identifier les intervalles où la courbe est au-dessus de la droite →
f(x) > k. - Identifier les intervalles où la courbe est en dessous de la droite →
f(x) < k. - Les bornes sont les abscisses des points d'intersection (solutions de
f(x) = k).
f(x) > k: la courbe est au-dessus de la droitey = k.f(x) < k: la courbe est en dessous de la droitey = k.f(x) = k: la courbe coupe la droite (borne de la solution).
La parabole est en dessous de la droite y = 4 entre les abscisses −2 et 2.
| x | ]−∞ ; −2[ | −2 | ]−2 ; 2[ | 2 | ]2 ; +∞[ |
|---|---|---|---|---|---|
| x² − 4 | + | 0 | − | 0 | + |
| x² < 4 ? | Non | Non | Oui | Non | Non |
5Résoudre f(x) > g(x) graphiquement
- Tracer les deux courbes Cf et Cg dans le même repère.
- Repérer les points d'intersection (solutions de
f(x) = g(x)). - f(x) > g(x) : identifier les intervalles où Cf est au-dessus de Cg.
- f(x) < g(x) : identifier les intervalles où Cf est en dessous de Cg.
- Écrire la solution sous forme d'intervalle.
Les deux courbes se croisent en x = −1 et x = 3. Entre −1 et 3, la droite g(x) = 2x+3 est au-dessus de la parabole. En dehors, c'est la parabole qui est au-dessus.
| x | ]−∞ ; −1[ | −1 | ]−1 ; 3[ | 3 | ]3 ; +∞[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Cf vs Cg | f au-dessus | égaux | g au-dessus | égaux | f au-dessus |
| x² > 2x+3 ? | Oui | Non | Non | Non | Oui |
6Lire les zéros d'une fonction
Les zéros d'une fonction f sont les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0. Ce sont les abscisses des points où la courbe Cf coupe l'axe des x.
- Repérer les points où la courbe coupe ou touche l'axe des x (axe horizontal).
- Lire les abscisses de ces points : ce sont les zéros de f.
C'est un cas particulier de f(x) = k avec k = 0 : la droite horizontale est l'axe des x lui-même.
Les zéros délimitent les intervalles de signe de la fonction :
- Entre deux zéros consécutifs, la fonction garde un signe constant (toujours + ou toujours −).
- En un zéro, la courbe change de côté par rapport à l'axe des x (en général).
La courbe coupe l'axe des x en x = −1 et x = 2. Ce sont les zéros.
Vérification : f(−1) = 1+1−2 = 0 ✓ et f(2) = 4−2−2 = 0 ✓.
| x | ]−∞ ; −1[ | −1 | ]−1 ; 2[ | 2 | ]2 ; +∞[ |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x²−x−2 | + | 0 | − | 0 | + |
7Précision et limites de la méthode
- Estimer le nombre de solutions d'une équation.
- Obtenir des valeurs approchées des solutions.
- Visualiser les intervalles de solution d'une inéquation.
- Vérifier la cohérence d'un résultat algébrique.
- La précision dépend de la qualité du tracé et de l'échelle choisie.
- La résolution graphique ne donne pas de valeurs exactes en général (sauf si la solution est un entier bien lisible).
- Elle peut manquer des solutions si la courbe est très aplatie ou si les intersections sont proches.
- Pour une solution exacte, il faut toujours compléter par une résolution algébrique.
Résolution graphique
- Rapide et visuelle
- Donne une approximation
- Montre combien de solutions
- Utile pour les inéquations
Résolution algébrique
- Rigoureuse et exacte
- Donne la valeur précise
- Nécessite des techniques de calcul
- Confirme les résultats graphiques
8Erreurs fréquentes
Les solutions d'une équation f(x) = k sont les abscisses (valeurs de x) des points d'intersection, pas les ordonnées. L'ordonnée vaut k par définition.
f(x) > g(x) signifie que la courbe Cf est au-dessus de Cg pour les valeurs de x concernées. Il faut toujours regarder la position relative verticale des deux courbes.
f(x) > k(strict) : les bornes sont exclues → crochets ouverts ]…[f(x) ≥ k(large) : les bornes sont incluses → crochets fermés [… ]
Ne pas confondre les deux.
La résolution graphique est approximative. Pour une valeur exacte (notamment en exercice de démonstration ou de calcul), il faut compléter par le calcul algébrique.
Une courbe peut couper une droite en plusieurs points. Ne pas se limiter à la première intersection visible. Vérifier sur tout l'intervalle de définition.