1Pourquoi des fonctions de référence ?
Les fonctions de référence sont un ensemble de fonctions fondamentales dont on connaît par cœur la formule, l'ensemble de définition, le tableau de valeurs, le tableau de variations et l'allure de la courbe. Elles servent de repères pour reconnaître, comparer et étudier toutes les autres fonctions.
- 3ème et Seconde : fonction carré
x², fonction inverse1/x, fonction racine carrée√x - Seconde uniquement : fonction cube
x³, fonction valeur absolue|x|
2Fonction carré — f(x) = x²
Propriétés
- Ensemble de définition : ℝ (tout réel)
- Parité : paire —
f(−x) = f(x)→ symétrie par rapport à l'axe des y - Minimum : f(0) = 0, atteint en x = 0
- Signe : f(x) ≥ 0 pour tout x (toujours positive ou nulle)
- Zéro : x = 0 uniquement
- Courbe : parabole, sommet en O(0 ; 0), ouverte vers le haut
Variations
- Décroissante sur ]−∞ ; 0]
- Croissante sur [0 ; +∞[
- Minimum en x = 0 : f(0) = 0
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x)=x² | +∞ | ↘ | 0 | ↗ | +∞ |
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
La courbe de f(x) = x² est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe vertical). Cela vient du fait que f(−x) = (−x)² = x² = f(x) : les antécédents opposés ont la même image.
3Fonction cube — f(x) = x³ Seconde
Propriétés
- Ensemble de définition : ℝ
- Parité : impaire —
f(−x) = −f(x)→ symétrie par rapport à l'origine O - Signe : même signe que x (positive si x>0, négative si x<0)
- Zéro : x = 0 uniquement
- Courbe : cubique en S, passant par O
Variations
- Strictement croissante sur ℝ entier
- Pas de maximum ni de minimum
| x | −∞ | +∞ | |
|---|---|---|---|
| f(x)=x³ | −∞ | ↗ | +∞ |
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
| f(x) = x³ | −8 | −1 | 0 | 1 | 8 |
La courbe de f(x) = x³ est symétrique par rapport à l'origine O. Car f(−x) = −f(x) : les valeurs opposées de x donnent des images opposées.
4Fonction inverse — f(x) = 1/x
Propriétés
- Ensemble de définition : ℝ \ {0} (tout réel sauf 0)
- Parité : impaire —
f(−x) = −f(x)→ symétrie par rapport à O - Signe : même signe que x
- Zéros : aucun (1/x ≠ 0 pour tout x)
- Courbe : hyperbole, deux branches ne touchant jamais les axes
- Asymptotes : axe des x et axe des y
Variations
- Décroissante sur ]−∞ ; 0[
- Décroissante sur ]0 ; +∞[
- Pas de maximum ni de minimum
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x)=1/x | 0⁻ | ↘ | || | ↘ | 0⁺ |
| x | −4 | −2 | −1 | −0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 4 |
| f(x) = 1/x | −0,25 | −0,5 | −1 | −2 | ∅ | 2 | 1 | 0,5 | 0,25 |
La division par zéro est impossible. La valeur x = 0 est exclue de l'ensemble de définition. La courbe ne coupe jamais les axes des x ni des y. Les axes sont des asymptotes : la courbe s'en approche sans jamais les toucher.
5Fonction racine carrée — f(x) = √x
Propriétés
- Ensemble de définition : [0 ; +∞[ (x ≥ 0 obligatoire)
- Images : f(x) ≥ 0 pour tout x (toujours positive ou nulle)
- Zéro : f(0) = 0, point de départ de la courbe
- Pas de parité : définie seulement sur [0;+∞[
- Courbe : demi-parabole horizontale
- Relation :
(√x)² = xpour x ≥ 0
Variations
- Strictement croissante sur [0 ; +∞[
- Minimum en x = 0 : f(0) = 0
| x | 0 | +∞ | |
|---|---|---|---|
| f(x)=√x | 0 | ↗ | +∞ |
| x | 0 | 1 | 4 | 9 | 2 | 3 |
| f(x) = √x | 0 | 1 | 2 | 3 | ≈1,41 | ≈1,73 |
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans ℝ. L'ensemble de définition est [0 ; +∞[. La courbe démarre en O(0 ; 0) et ne s'étend pas à gauche.
√0 = 0,√1 = 1,√4 = 2,√9 = 3,√16 = 4,√25 = 5√(x²) = |x|(et non x, car √ est toujours positive).(√x)² = xpour x ≥ 0.√(a×b) = √a × √bpour a ≥ 0 et b ≥ 0.
6Fonction valeur absolue — f(x) = |x| Seconde
La valeur absolue de x, notée |x|, est la distance entre x et 0 sur la droite des réels :
Autrement dit, |x| est toujours positive ou nulle : c'est « x sans son signe ».
Propriétés
- Ensemble de définition : ℝ
- Parité : paire —
|−x| = |x|→ symétrie par rapport à l'axe des y - Images : f(x) ≥ 0 toujours
- Minimum : f(0) = 0, en x = 0
- Zéro : x = 0 uniquement
- Courbe : en forme de V, sommet en O
Variations
- Décroissante sur ]−∞ ; 0]
- Croissante sur [0 ; +∞[
- Minimum en x = 0 : f(0) = 0
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x)=|x| | +∞ | ↘ | 0 | ↗ | +∞ |
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) = |x| | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|5| = 5|−5| = 5|0| = 0|3 − 7| = |−4| = 4|x − 2| = 3→x − 2 = 3oux − 2 = −3→ x = 5 ou x = −1
7Tableau de bilan comparatif
| Fonction | Formule | Ensemble de définition | Variations | Allure |
|---|---|---|---|---|
| Carré | x² |
ℝ | ↘ sur ]−∞;0] puis ↗ sur [0;+∞[ | Parabole ∪, min en 0 |
| Cube | x³ |
ℝ | ↗ sur ℝ entier | Cubique en S |
| Inverse | 1/x |
ℝ \ {0} | ↘ sur ]−∞;0[ et ↘ sur ]0;+∞[ | Hyperbole (2 branches) |
| Racine carrée | √x |
[0 ; +∞[ | ↗ sur [0;+∞[ | Demi-parabole horizontale |
| Valeur absolue | |x| |
ℝ | ↘ sur ]−∞;0] puis ↗ sur [0;+∞[ | En V, sommet en O |
| Fonction | Passe par O(0;0) ? | Symétrie | Toujours ≥ 0 ? | Zéros |
|---|---|---|---|---|
| x² | ✓ | Axe des y | ✓ | x = 0 |
| x³ | ✓ | Origine O | ✗ | x = 0 |
| 1/x | ✗ | Origine O | ✗ | Aucun |
| √x | ✓ | Aucune | ✓ | x = 0 |
| |x| | ✓ | Axe des y | ✓ | x = 0 |
8Erreurs fréquentes
√(−4) n'existe pas dans ℝ. La racine carrée n'est définie que pour x ≥ 0. En revanche √4 = 2 et non ±2 (la racine carrée est toujours positive).
√(x²) = |x|, pas x. Par exemple : √((−3)²) = √9 = 3 = |−3|. On ne peut pas écrire √(x²) = x si x peut être négatif.
La division par zéro est interdite. La fonction inverse n'est pas définie en 0. Ne jamais écrire f(0) pour la fonction inverse.
x² est paire (symétrie par rapport à l'axe des y) : f(−x) = f(x).
x³ est impaire (symétrie par rapport à O) : f(−x) = −f(x).
Ces deux symétries sont différentes.
La fonction inverse est décroissante sur chaque intervalle de sa définition, mais on ne peut pas dire qu'elle est décroissante sur ℝ\{0} dans son ensemble (car on ne peut pas comparer une valeur négative avec une valeur positive pour cette fonction).