1Introduction — Pourquoi les fonctions ?
La notion de fonction est l'une des idées les plus fondamentales et les plus puissantes de toutes les mathématiques. Elle permet de décrire, de modéliser et d'analyser les relations entre des grandeurs qui varient ensemble — la distance parcourue et le temps, le prix d'un article et la quantité achetée, la température et l'altitude, la surface d'un carré et la longueur de son côté.
Avant d'en donner la définition formelle, il est utile de comprendre pourquoi les mathématiciens ont eu besoin de ce concept. Dans la nature et dans la société, de nombreuses grandeurs dépendent les unes des autres :
- Le prix total d'un achat dépend du nombre d'articles achetés.
- La distance parcourue à pied dépend du temps de marche.
- La surface d'un cercle dépend de son rayon.
- La valeur d'un billet en euros dépend du taux de change.
3Définition : qu'est-ce qu'une fonction ?
Définition générale
Une fonction est un procédé qui, à chaque valeur numérique x d'un ensemble de départ appelé ensemble de définition, associe une et une seule valeur numérique y, appelée image de x.
On note généralement ce procédé par une lettre (souvent f, g, h…) et on écrit :
On lit : « y est l'image de x par la fonction f », ou « f de x égale y ».
Exemples fondamentaux
Soit la fonction f définie par f(x) = 2x + 3.
- Pour x = 0 :
f(0) = 2 × 0 + 3 = 3 - Pour x = 1 :
f(1) = 2 × 1 + 3 = 5 - Pour x = −2 :
f(−2) = 2 × (−2) + 3 = −4 + 3 = −1
À chaque valeur de x, on obtient une seule valeur f(x) : c'est bien une fonction.
On peut aussi définir une fonction par un tableau de valeurs :
| x | −3 | 0 | 1 | 4 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 5 | −1 | 2 | 2 | 8 |
On constate que f(1) = f(4) = 2 : deux entrées distinctes ont la même image. C'est autorisé. C'est bien une fonction.
La correspondance suivante n'est pas une fonction :
| x | 1 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|
| valeur associée | 4 | 7 | 2 |
Pour x = 1, on a deux images différentes (4 et 7) : la condition d'unicité est violée. Ce n'est pas une fonction.
4Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction f, noté Df (ou parfois Dom(f)), est l'ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles f(x) est définie (c'est-à-dire calculable).
Principales causes de restriction de l'ensemble de définition
Certaines expressions mathématiques ne sont pas calculables pour toutes les valeurs de x. Les deux cas les plus courants en Seconde sont :
Cas 1 — La division par zéro
Si la formule de f contient une fraction, le dénominateur ne peut pas être nul. Il faut exclure les valeurs de x qui annulent le dénominateur.
Soit f(x) = 1 / (x − 2).
Le dénominateur est nul quand x − 2 = 0, c'est-à-dire quand x = 2.
Donc Df = ℝ \ {2}, c'est-à-dire tous les réels sauf 2.
Cas 2 — La racine carrée d'un nombre négatif
Si la formule contient une racine carrée, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle (car on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif dans ℝ).
Soit g(x) = √(3x − 6).
Il faut que 3x − 6 ≥ 0, c'est-à-dire x ≥ 2.
Donc Dg = [2 ; +∞[.
Notation des ensembles et intervalles
En Seconde, on utilise couramment les notations suivantes pour décrire les ensembles de définition :
| Notation | Signification | Exemple |
|---|---|---|
[a ; b] |
Intervalle fermé : tous les réels entre a et b, a et b inclus | [0 ; 5] contient 0, 2,7, 5… |
]a ; b[ |
Intervalle ouvert : tous les réels entre a et b, a et b exclus | ]0 ; 5[ ne contient ni 0 ni 5 |
[a ; b[ |
Intervalle semi-ouvert : a inclus, b exclu | [2 ; 7[ contient 2 mais pas 7 |
]−∞ ; b] |
Tous les réels inférieurs ou égaux à b | ]−∞ ; 3] = tous les x ≤ 3 |
[a ; +∞[ |
Tous les réels supérieurs ou égaux à a | [2 ; +∞[ = tous les x ≥ 2 |
ℝ |
Tous les nombres réels (= ]−∞ ; +∞[) | f(x) = x + 1 est définie sur ℝ |
5Notations et vocabulaire essentiels
La maîtrise du vocabulaire est indispensable pour comprendre les énoncés et rédiger correctement. Voici les termes fondamentaux que tout élève doit connaître.
Comment lire et écrire correctement
La notation mathématique est un langage précis. Voici les formulations correctes à maîtriser :
| Notation | On lit | Signification |
|---|---|---|
f(3) = 7 |
« f de 3 égale 7 » | L'image de 3 par f est 7. Ou : 3 a pour image 7. |
f(x) = 2x + 1 |
« f de x égale deux x plus un » | La règle de calcul de f est : multiplier x par 2 puis ajouter 1. |
f : x ↦ x² |
« f envoie x sur x carré » | Notation fonctionnelle : à x on associe x². (Surtout en Seconde.) |
Df = [0 ; +∞[ |
« L'ensemble de définition de f est [0 ; +∞[ » | f est définie pour tout x ≥ 0. |
La notation flèche (Seconde)
En Seconde, on utilise parfois la notation avec la double flèche pour distinguer la fonction (la règle abstraite) de son expression (la formule) :
x ↦ 3x − 1
La première ligne dit que f va de ℝ dans ℝ (elle prend des réels et rend des réels). La seconde ligne dit que l'image de x est 3x − 1. La flèche simple → sépare l'ensemble de départ de l'ensemble d'arrivée ; la flèche courbée ↦ sépare x de son image.
6Schémas fonctionnels — la machine à calculer
Pour visualiser concrètement ce qu'est une fonction, on peut utiliser l'image d'une machine à calculer : on introduit une valeur par l'entrée, la machine effectue un calcul selon sa règle, et elle produit une valeur en sortie.
La machine prend 4 en entrée, calcule 4² − 1 = 16 − 1 = 15, et produit 15 en sortie. L'image de 4 par f est 15.
La machine n'admet qu'une seule sortie par entrée
L'image de cette machine est particulièrement utile pour comprendre la condition d'unicité : une bonne machine à calculer, lorsqu'on lui donne la même entrée, produit toujours le même résultat. Si, pour une même entrée, deux résultats différents sont possibles, la « machine » est défaillante — elle ne définit pas une fonction.
Si a = b, alors f(a) = f(b). Des entrées identiques produisent des sorties identiques. Cette propriété est toujours vérifiée pour une fonction.
En revanche, il est possible que a ≠ b et que f(a) = f(b) (même image pour deux entrées différentes).
7Exemples issus de la vie courante
Les fonctions ne sont pas une abstraction déconnectée du réel. Elles décrivent des situations du quotidien. Voici des exemples qui permettent d'ancrer la notion.
Exemple 1 — Prix d'un achat
Un magazine coûte 3,50 €. On note p(n) le prix total à payer pour n magazines.
- Formule :
p(n) = 3,50 × n p(1) = 3,50 €— l'image de 1 est 3,50p(4) = 14,00 €— l'image de 4 est 14p(10) = 35,00 €— l'image de 10 est 35
Ensemble de définition : n est un entier positif ou nul (0, 1, 2, 3…). On ne peut pas acheter un nombre négatif ou non entier de magazines.
La variable n est le nombre de magazines achetés (variable indépendante). Le prix p(n) en est l'image (variable dépendante).
Exemple 2 — Température et altitude
En montagne, la température diminue en moyenne de 0,6°C tous les 100 mètres d'altitude. Si la température au sol (altitude 0) est de 20°C, la température T (en °C) à l'altitude a (en mètres) est :
T(0) = 20°C— au solT(1000) = 20 − 6 = 14°C— à 1 000 mT(3000) = 20 − 18 = 2°C— à 3 000 m
La variable indépendante est l'altitude ; la variable dépendante est la température.
Exemple 3 — Aire d'un carré
L'aire A d'un carré de côté c est :
A(3) = 9 cm²A(5) = 25 cm²A(0) = 0 cm²
Ensemble de définition : c ≥ 0 (un côté de carré ne peut pas être négatif). DA = [0 ; +∞[.
On note que A(2) = 4 et A(−2) = 4 mathématiquement, mais dans le contexte géométrique on n'accepte que c ≥ 0.
Exemple 4 — Que n'est pas une fonction ?
La correspondance « à un élève, on associe son numéro de table » est-elle une fonction ? Cela dépend de la situation :
- Si chaque élève a une seule table : oui, c'est une fonction (chaque entrée — l'élève — a une seule sortie — le numéro).
- Si un élève peut changer de place selon les jours : non, ce n'est pas une fonction au sens strict (entrée identique, sortie variable).
10Erreurs fréquentes à éviter
✗ Confondre f et f(x)
f désigne la fonction (la règle abstraite) ; f(x) désigne l'image de x par cette fonction (un nombre). Dire « la fonction f(x) = 3x + 1 » est un abus de langage courant mais techniquement imprécis. La formulation rigoureuse est « la fonction f définie par f(x) = 3x + 1 ».
✓ Distinguer : f est la fonction ; f(x) est l'image de x.
✗ Croire qu'une image ne peut pas être atteinte par deux antécédents différents
C'est faux. Pour f(x) = x², on a f(3) = 9 et f(−3) = 9. Les valeurs 3 et −3 sont deux antécédents différents de 9. C'est parfaitement autorisé.
✓ Un nombre peut avoir 0, 1, 2 ou plus d'antécédents. Seule l'image doit être unique.
✗ Oublier l'ensemble de définition
Calculer f(x) = 1/(x−2) pour x = 2 donne une division par zéro, ce qui n'est pas défini. Toujours vérifier que la valeur à calculer appartient à l'ensemble de définition.
✓ Vérifier systématiquement que x ∈ Df avant de calculer f(x).
✗ Confondre image et antécédent dans une phrase
« L'image de f par 3 est 9 » est incorrect. On dit « l'image de 3 par f est 9 » ou « 3 a pour image 9 par f ».
✓ C'est toujours x qui a une image ; f(x) est l'image de x.
✗ Inverser l'antécédent et l'image dans la notation
Si f(2) = 5, l'antécédent est 2 et l'image est 5. Beaucoup d'élèves les inversent, surtout lors de la lecture graphique.
✓ f(antécédent) = image. Ce qui est entre les parenthèses est toujours l'antécédent.
✗ Penser que toute courbe est la représentation d'une fonction
Un cercle, par exemple, n'est pas la représentation graphique d'une fonction : pour certaines valeurs de x, il y a deux points sur la courbe, donc deux images. On peut vérifier graphiquement avec le test de la droite verticale : si une droite verticale coupe la courbe en plus d'un point, ce n'est pas une représentation de fonction.
✓ Utiliser le test de la droite verticale pour vérifier.
Le test de la droite verticale
Une courbe dans un repère est la représentation graphique d'une fonction si et seulement si toute droite verticale (d'équation x = a) coupe cette courbe en au plus un point.
Si une droite verticale coupe la courbe en deux points ou plus, la courbe ne représente pas une fonction (car un même x aurait deux images).
11Fiche de synthèse
📋 Ce qu'il faut retenir — Notion de fonction
f(x) pour l'image de x ; f : x ↦ … pour la règle de correspondance ; Df pour l'ensemble de définition ; intervalles [a;b], ]a;b[, [a;+∞[…📚 Sources et références
Programme de mathématiques du cycle 4.
Bulletin officiel spécial n°11 du 26 novembre 2015, modifié par arrêté du 17 juillet 2020.
Disponible sur : education.gouv.fr — BO spécial n°8, 2020
Programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique.
Arrêté du 17 janvier 2019. Bulletin officiel spécial n°1 du 22 janvier 2019.
Disponible sur : education.gouv.fr — BO spécial n°1, 2019
Ressources pour la classe de seconde — Fonctions.
Disponible sur : eduscol.education.fr
L'enseignement des sciences mathématiques. Rapport de la Commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques.
Odile Jacob / CNDP.
Cahiers de l'IREM — Histoire et enseignement des fonctions.
Disponible sur : univ-irem.fr
Mathématiques Seconde — Programmes 2019. Éditions Belin, Nathan, Hachette Éducation.
(Les manuels scolaires des principales maisons d'édition françaises servent de base aux formulations pédagogiques retenues dans ce cours.)