1Fonctions croissantes et décroissantes
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous réels x₁ et x₂ de I :
Autrement dit : quand x augmente, f(x) augmente aussi.
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous réels x₁ et x₂ de I :
Autrement dit : quand x augmente, f(x) diminue.
Une fonction f est constante sur un intervalle I si f(x) prend la même valeur pour tout x de I.
Une fonction peut être croissante sur un intervalle et décroissante sur un autre. On ne dit jamais « f est croissante » sans préciser sur quel intervalle, sauf si elle l'est sur tout son ensemble de définition.
2Lire les variations sur une courbe
- Parcourir la courbe de gauche à droite (sens des x croissants).
- Si la courbe monte → la fonction est croissante sur cet intervalle.
- Si la courbe descend → la fonction est décroissante sur cet intervalle.
- Si la courbe est horizontale → la fonction est constante sur cet intervalle.
- Identifier les changements de sens (sommets, creux) pour délimiter les intervalles.
- Sur ]−3 ; −1[ : la courbe monte → f est croissante.
- En x = −1 : maximum local, f(−1) = 2.
- Sur ]−1 ; 2[ : la courbe descend → f est décroissante.
- En x = 2 : minimum local, f(2) = −1.
- Sur ]2 ; 4[ : la courbe monte → f est croissante.
3Le tableau de variations
Le tableau de variations est une représentation synthétique du comportement d'une fonction. Il résume en une ligne :
- Les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.
- Les valeurs aux bornes et aux points de changement de sens.
- Les extremums (maximum et minimum) et leur emplacement.
- La première ligne contient les valeurs remarquables de x, de gauche à droite (croissantes).
- La deuxième ligne contient les valeurs correspondantes de f(x), placées en haut si ce sont des valeurs grandes (maximum local), en bas si ce sont des valeurs petites (minimum local).
- Une flèche montante ↗ indique que la fonction est croissante.
- Une flèche descendante ↘ indique que la fonction est décroissante.
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | +∞ | ↘ | 0 | ↗ | +∞ |
Le 0 est placé en bas : c'est un minimum (valeur la plus petite), atteint en x = 0. Les +∞ aux extrémités sont placés en haut.
Soit une fonction f croissante sur [−3 ; 1] avec f(−3) = −2 et f(1) = 4, puis décroissante sur [1 ; 5] avec f(5) = 0.
| x | −3 | 1 | 5 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | −2 | ↗ | 4 | ↘ | 0 |
- Le 4 est placé en haut : maximum de f sur [−3 ; 5], atteint en x = 1.
- Le −2 est placé en bas : minimum de f sur [−3 ; 5], atteint en x = −3.
4Construire un tableau de variations
- Déterminer l'ensemble de définition de f.
- Identifier les intervalles de croissance et de décroissance (depuis le graphique, un tableau de valeurs, ou l'étude de la formule).
- Calculer les valeurs aux bornes et aux points de changement de sens.
- Placer ces valeurs en haut si ce sont des maximums locaux, en bas si ce sont des minimums locaux.
- Tracer les flèches en respectant les sens de variation.
On calcule d'abord un tableau de valeurs :
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f(x) | 6 | 1 | −2 | −3 | −2 | 1 | 6 |
On observe que f diminue jusqu'en x = 2, puis augmente. Le minimum est f(2) = −3.
| x | −1 | 2 | 5 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x²−4x+1 | 6 | ↘ | −3 | ↗ | 6 |
- f est décroissante sur [−1 ; 2].
- f est croissante sur [2 ; 5].
- Minimum de f sur [−1 ; 5] : f(2) = −3, atteint en x = 2.
- Maximum de f sur [−1 ; 5] : f(−1) = f(5) = 6, atteint en x = −1 et x = 5.
La fonction inverse est définie sur ℝ \ {0}, avec une rupture en x = 0.
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = 1/x | 0⁻ | ↘ | || | ↘ | 0⁺ |
Le symbole || indique une valeur interdite (x = 0 ∉ D_f). Les variations sont décroissantes sur chaque intervalle, mais on ne peut pas les « relier ».
5Extremums : maximum et minimum
Maximum de f sur I : un réel M est le maximum de f sur I si :
- Il existe x₀ ∈ I tel que f(x₀) = M
- Pour tout x ∈ I : f(x) ≤ M
On dit aussi que f atteint son maximum en x₀.
Minimum de f sur I : un réel m est le minimum de f sur I si :
- Il existe x₀ ∈ I tel que f(x₀) = m
- Pour tout x ∈ I : f(x) ≥ m
Maximum global
La plus grande valeur atteinte par f sur tout son ensemble de définition (ou sur l'intervalle étudié). Il se lit en haut dans le tableau de variations.
Minimum global
La plus petite valeur atteinte par f. Il se lit en bas dans le tableau de variations.
- Une valeur placée en bas isolée (avec une flèche ↘ à gauche et ↗ à droite) est un minimum local.
- Une valeur placée en haut isolée (avec une flèche ↗ à gauche et ↘ à droite) est un maximum local.
- On dit « f admet un minimum de valeur m en x₀ ».
Un extremum est atteint à l'intérieur de l'intervalle, au changement de sens de variation. Les valeurs aux bornes de l'intervalle ne sont pas des extremums au sens strict, mais peuvent être les valeurs maximales ou minimales sur l'intervalle fermé.
| x | −4 | −1 | 3 | 6 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | −5 | ↗ | 7 | ↘ | 2 | ↗ | 9 |
- Maximum local en x = −1 : f(−1) = 7. (↗ puis ↘)
- Minimum local en x = 3 : f(3) = 2. (↘ puis ↗)
- Maximum global sur [−4 ; 6] : f(6) = 9 (valeur la plus grande du tableau).
- Minimum global sur [−4 ; 6] : f(−4) = −5 (valeur la plus petite du tableau).
6Signe d'une fonction
Étudier le signe d'une fonction, c'est déterminer pour quels x on a f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0.
- f(x) > 0 : la courbe est au-dessus de l'axe des x.
- f(x) < 0 : la courbe est en dessous de l'axe des x.
- f(x) = 0 : la courbe coupe l'axe des x → ce sont les zéros de f.
- Repérer les zéros de f (abscisses où la courbe coupe l'axe des x).
- Sur chaque intervalle entre deux zéros, observer si la courbe est au-dessus (f > 0) ou en dessous (f < 0) de l'axe des x.
- Reporter dans un tableau de signes.
La courbe de f coupe l'axe des x en x = −2 et x = 3. Elle est au-dessus entre −2 et 3, en dessous en dehors.
| x | ]−∞ ; −2[ | −2 | ]−2 ; 3[ | 3 | ]3 ; +∞[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de f(x) | − | 0 | + | 0 | − |
Pour une fonction affine f(x) = ax + b :
- Un seul zéro en x₀ = −b/a.
- Si a > 0 : f < 0 avant x₀, f > 0 après x₀.
- Si a < 0 : f > 0 avant x₀, f < 0 après x₀.
7Fonctions monotones
Une fonction est dite monotone sur un intervalle si elle y est strictement croissante ou strictement décroissante (sans changement de sens).
Si f est strictement monotone sur un intervalle I, alors pour toute valeur k, l'équation f(x) = k a au plus une solution dans I.
En d'autres termes : une droite horizontale ne peut couper la courbe d'une fonction strictement monotone qu'en un seul point au maximum sur cet intervalle.
| Fonction | Type de monotonie | Sur quel intervalle ? |
|---|---|---|
f(x) = 2x + 3 |
Strictement croissante | ℝ entier |
f(x) = −x + 1 |
Strictement décroissante | ℝ entier |
f(x) = √x |
Strictement croissante | [0 ; +∞[ |
f(x) = x³ |
Strictement croissante | ℝ entier |
f(x) = x² |
Non monotone sur ℝ | Décroissante sur ]−∞;0], croissante sur [0;+∞[ |
Si f est croissante sur I, alors pour x₁, x₂ ∈ I :
On peut donc comparer deux valeurs de la variable en comparant leurs images, et inversement.
Soit f croissante sur [0 ; 8]. Résoudre f(x) ≥ f(3) pour x ∈ [0 ; 8].
Comme f est croissante : f(x) ≥ f(3) ⟺ x ≥ 3.
La solution est [3 ; 8].
8Erreurs fréquentes
« f est croissante » sans préciser l'intervalle est incorrect, sauf si f est croissante sur tout son ensemble de définition. Toujours écrire « f est croissante sur [a ; b] ».
« Le maximum est x = 2 » est incorrect. Il faut distinguer :
— en x = 2 : c'est l'abscisse où le maximum est atteint.
— f(2) = 5 : c'est la valeur du maximum.
Formulation correcte : « f admet un maximum de valeur 5, atteint en x = 2 ».
Dans le tableau de variations, les valeurs en haut correspondent aux valeurs grandes (maximums locaux ou valeurs vers lesquelles f tend en montant). Cela n'a pas de lien direct avec le signe de la valeur : une valeur négative peut être placée en haut si c'est un maximum local.
Un tableau de valeurs avec seulement 3 points ne suffit pas à conclure définitivement sur les variations. Il peut y avoir des changements de sens entre les points. La courbe ou l'étude algébrique est nécessaire.
Décroissante ne signifie pas négative. f(x) = −x + 100 est décroissante mais positive pour x < 100. Le sens de variation et le signe sont deux notions indépendantes.