1Le repère orthogonal
Un repère orthogonal est formé de deux droites perpendiculaires qui se croisent en un point appelé l'origine, notée O.
- La droite horizontale est l'axe des abscisses (axe des x).
- La droite verticale est l'axe des ordonnées (axe des y).
- Chaque point M du plan est repéré par ses coordonnées (x ; y), aussi notées (abscisse ; ordonnée).
- Les coordonnées s'écrivent toujours dans l'ordre (abscisse ; ordonnée), c'est-à-dire (x ; y).
- L'abscisse se lit sur l'axe horizontal, l'ordonnée sur l'axe vertical.
- Le repère est dit orthonormé si, en plus d'être perpendiculaires, les deux axes ont la même unité de graduation.
2Courbe représentative d'une fonction
La courbe représentative (ou graphe) d'une fonction f dans un repère est l'ensemble de tous les points de coordonnées (x ; f(x)), pour tout x appartenant à l'ensemble de définition de f.
On la note souvent Cf.
Un point M de coordonnées (a ; b) appartient à la courbe Cf si et seulement si f(a) = b.
Autrement dit : vérifier qu'un point est sur la courbe revient à vérifier que son ordonnée est bien l'image de son abscisse.
Soit f(x) = x² − 1. Le point A(2 ; 3) est-il sur la courbe de f ?
On calcule f(2) = 4 − 1 = 3. L'ordonnée de A est 3. Comme f(2) = 3, A est bien sur la courbe.
Le point B(1 ; 2) est-il sur la courbe ? f(1) = 1 − 1 = 0 ≠ 2. B n'est pas sur la courbe.
3Tracer une courbe à partir d'un tableau
- Construire un tableau de valeurs avec suffisamment de points (5 à 7 minimum).
- Placer chaque point
(x ; f(x))dans le repère avec précision. - Relier les points par une courbe lisse, sans angles, en respectant l'allure générale.
- Indiquer le nom de la courbe (Cf) et les axes.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
- On relie les points par une courbe lisse et continue, jamais par des segments brisés (sauf si la fonction est définie par morceaux).
- Plus les points sont nombreux et rapprochés, plus la courbe est précise.
- Ne pas prolonger la courbe en dehors de l'ensemble de définition.
Pour une fonction affine, deux points suffisent (une droite est déterminée par deux points). On en prend trois pour vérifier.
| x | −1 | 0 | 2 |
| f(x) | −1 | 1 | 5 |
Les trois points sont alignés : c'est bien une droite. Pour une fonction affine, on prolonge toujours la droite avec des flèches aux deux extrémités (sauf si l'ensemble de définition est limité).
4Test de la droite verticale
Toute courbe tracée dans un repère ne représente pas nécessairement une fonction. On dispose d'un test graphique simple pour le vérifier.
Une courbe est la représentation graphique d'une fonction si et seulement si toute droite verticale (d'équation x = a) coupe cette courbe en au plus un point.
Si une droite verticale coupe la courbe en deux points ou plus, la courbe ne représente pas une fonction (un même antécédent aurait plusieurs images).
Chaque verticale coupe la courbe en un seul point.
Une verticale coupe la courbe en deux points : ce n'est pas une fonction.
5Lecture graphique : images et antécédents
🔍 Lire une image f(a)
- Repérer a sur l'axe des x.
- Tracer la droite verticale d'équation x = a.
- Trouver son intersection avec la courbe.
- Lire l'ordonnée de ce point : c'est f(a).
🔍 Lire un antécédent de b
- Repérer b sur l'axe des y.
- Tracer la droite horizontale d'équation y = b.
- Trouver toutes ses intersections avec la courbe.
- Lire les abscisses de ces points : ce sont les antécédents.
- Image de 2 : la droite verticale
x = 2(tirets foncés) coupe la courbe au point (2 ; 2). Doncf(2) = 2. - Antécédents de −1 : la droite horizontale
y = −1(tirets violets) coupe la courbe en deux points d'abscisses −1 et 1. Donc les antécédents de −1 sont −1 et 1.
6Lire les variations sur une courbe
- f est croissante sur un intervalle si la courbe monte de gauche à droite sur cet intervalle.
- f est décroissante sur un intervalle si la courbe descend de gauche à droite sur cet intervalle.
- Un maximum est un point où la courbe atteint sa valeur la plus haute (localement ou globalement).
- Un minimum est un point où la courbe atteint sa valeur la plus basse (localement ou globalement).
- Les intervalles de croissance et de décroissance (où la courbe monte, où elle descend).
- Les extremums : valeur maximale ou minimale atteinte, et l'abscisse correspondante.
- Les zéros de la fonction : abscisses des points où la courbe coupe l'axe des x (f(x) = 0).
- L'ordonnée à l'origine : ordonnée du point où la courbe coupe l'axe des y (x = 0).
- Le signe de la fonction : f(x) > 0 quand la courbe est au-dessus de l'axe des x ; f(x) < 0 quand elle est en dessous.
La courbe de f coupe l'axe des x aux points d'abscisses −2 et 3.
f(−2) = 0etf(3) = 0: ce sont les zéros de la fonction.- Si la courbe est au-dessus de l'axe des x entre −2 et 3 : f(x) > 0 pour x ∈ ]−2 ; 3[.
- Si la courbe est en dessous pour x < −2 et x > 3 : f(x) < 0 sur ces intervalles.
7Erreurs fréquentes
Sauf pour une fonction affine (droite) ou une fonction définie par morceaux, on relie toujours les points par une courbe lisse et arrondie, sans angles.
Le point (3 ; 5) a pour abscisse 3 (sur l'axe horizontal) et pour ordonnée 5 (sur l'axe vertical). Ne pas les inverser. abscisse = x (horizontal), ordonnée = y (vertical).
Pour une image : on part de l'axe des x → on monte/descend vers la courbe → on lit sur y.
Pour un antécédent : on part de l'axe des y → on va horizontalement vers la courbe → on lit sur x.
Si la fonction est définie sur [0 ; 5], la courbe ne doit pas être tracée pour des valeurs de x en dehors de cet intervalle.
Le test à appliquer est le test de la droite verticale, pas la forme générale de la courbe. Une courbe peut avoir des bosses et des creux et rester la représentation d'une fonction, tant que chaque verticale ne la coupe qu'en un seul point.