📘 Les inéquations

Les équations permettent de rechercher une valeur précise.

Les inéquations permettent de rechercher toutes les valeurs qui vérifient une condition d'inégalité.

1. Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Une inéquation est une relation mathématique contenant une inconnue et un symbole d'inégalité.

Exemples :

x + 3 > 8
2x − 1 ≤ 7
5x > 20
3x + 4 ≤ x + 10

2. Les symboles d'inégalité

Symbole	Signification
<	Strictement inférieur à
>	Strictement supérieur à
≤	Inférieur ou égal à
≥	Supérieur ou égal à

3. Solution d'une inéquation

Une solution est une valeur qui rend l'inégalité vraie.

Inéquation :

x + 3 > 8

Testons x = 6 :

6 + 3 > 8
9 > 8

✔ 6 est solution.

Testons x = 4 :

4 + 3 > 8
7 > 8

✘ 4 n'est pas solution.

4. Résoudre une inéquation simple

x + 5 > 12

On soustrait 5 :

x > 7

Toutes les valeurs strictement supérieures à 7 sont solutions.

5. Les transformations autorisées

Comme pour les équations, on peut effectuer la même opération dans les deux membres.

Opération	Effet sur l'inégalité
Ajouter un nombre	Conserve le sens
Soustraire un nombre	Conserve le sens
Multiplier par un nombre positif	Conserve le sens
Diviser par un nombre positif	Conserve le sens

6. Changement de sens de l'inégalité

Lorsque l'on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

−2x > 8

On divise par −2 :

x < −4

⚠ Règle fondamentale :

Multiplier ou diviser par un nombre négatif

⇒ inversion du symbole

7. Résoudre une inéquation du premier degré

3x − 2 ≤ 10

3x ≤ 12

x ≤ 4

5x + 3 > 2x + 12

3x > 9

x > 3

8. Représentation sur une droite graduée

Les solutions peuvent être représentées graphiquement.

x > 3

Point ouvert en 3 puis flèche vers la droite.

x ≤ 4

Point fermé en 4 puis flèche vers la gauche.

9. Les intervalles (niveau Seconde)

Condition	Intervalle
x > 3	]3 ; +∞[
x ≥ 3	[3 ; +∞[
x < 5	]−∞ ; 5[
x ≤ 5	]−∞ ; 5]
2 ≤ x ≤ 7	[2 ; 7]

10. Résoudre un problème avec une inéquation

Une salle peut accueillir au maximum 120 personnes. 40 places sont déjà occupées. Combien peut-on encore accueillir de personnes ?

Soit x le nombre de personnes supplémentaires.

40 + x ≤ 120

x ≤ 80

On peut accueillir au maximum 80 personnes supplémentaires.

11. Lien avec les fonctions (niveau Seconde)

Une inéquation peut être résolue graphiquement à l'aide d'une fonction.

Résoudre :

2x + 1 > 5

revient à rechercher les abscisses où :

y = 2x + 1

est située au-dessus de :

y = 5

12. Erreurs fréquentes

Erreur	Conséquence
Oublier d'inverser le sens	Solution fausse
Confondre < et ≤	Mauvais ensemble de solutions
Mal écrire un intervalle	Notation incorrecte
Ne pas interpréter le résultat	Réponse incomplète

📝 Synthèse

Une inéquation contient une inconnue et un symbole d'inégalité.
Une solution rend l'inégalité vraie.
On peut ajouter ou soustraire un même nombre dans les deux membres.
On peut multiplier ou diviser par un nombre positif sans modifier le sens.
Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
Les solutions sont souvent représentées sous forme d'intervalles.
Les inéquations permettent de modéliser des contraintes réelles.
En Seconde, elles sont reliées aux fonctions et aux représentations graphiques.

📚 Sources et références

Bulletin officiel de l'Éducation nationale – Programme de mathématiques du cycle 4

Bulletin officiel de l'Éducation nationale – Programme de mathématiques de Seconde générale et technologique

Éduscol – Ressources d'accompagnement : inégalités, calcul littéral et résolution de problèmes

Éduscol – Ressources pour la liaison collège-lycée en algèbre

Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (IREM) – Ressources sur les inégalités et les fonctions

Commission française pour l'enseignement des mathématiques (CFEM)

Manuels scolaires de mathématiques Cycle 4 conformes aux programmes de l'Éducation nationale

Manuels scolaires de mathématiques Seconde générale et technologique conformes aux programmes de l'Éducation nationale