📘 Équations particulières
Certaines équations ne se résolvent pas directement avec les méthodes classiques du premier degré.
Elles nécessitent l'utilisation de propriétés particulières comme le principe du produit nul ou des transformations algébriques.
1. Le principe du produit nul
Si un produit de plusieurs facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul.
Principe fondamental :
Si
A × B = 0
alors
A = 0
ou
B = 0
A × B = 0
⬇️
A = 0
ou
B = 0
2. Résoudre une équation-produit
(x − 3)(x + 5) = 0
On applique le principe du produit nul :
x − 3 = 0
ou
x + 5 = 0
x = 3
ou
x = −5
S = {−5 ; 3}
Une équation-produit peut avoir plusieurs solutions.
3. Équations se ramenant à un produit nul
Certaines équations doivent être factorisées avant d'utiliser le principe du produit nul.
x² − 9 = 0
On reconnaît une différence de deux carrés :
x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
L'équation devient :
(x − 3)(x + 3) = 0
x = 3
ou
x = −3
S = {−3 ; 3}
4. Utiliser une factorisation préalable
x² + 2x = 0
On met x en facteur :
x(x + 2) = 0
On applique le produit nul :
x = 0
ou
x + 2 = 0
x = 0
ou
x = −2
S = {−2 ; 0}
5. Équations quotient simples
Une fraction est définie uniquement lorsque son dénominateur est différent de zéro.
Pour résoudre :
(x + 3)/5 = 2
on multiplie les deux membres par 5.
(x + 3)/5 = 2
x + 3 = 10
x = 7
6. Attention aux valeurs interdites
Dans une équation contenant une fraction, certaines valeurs rendent le dénominateur nul.
Elles doivent être exclues.
3/(x − 2) = 1
Valeur interdite :
x − 2 = 0
x = 2
On ne pourra jamais accepter x = 2 comme solution.
7. Cas particuliers
Aucune solution
(x − 1)(x + 4) = 5
Le produit n'est pas égal à zéro.
Le principe du produit nul ne s'applique pas directement.
Infinité de solutions
2(x + 1) = 2x + 2
Développement :
2x + 2 = 2x + 2
Égalité toujours vraie.
S = ℝ
8. Ouverture vers la Seconde : équations du second degré factorisées
Au lycée, de nombreuses équations du second degré peuvent être résolues grâce à une factorisation.
(x − 4)(x + 1) = 0
x − 4 = 0
ou
x + 1 = 0
x = 4
ou
x = −1
S = {−1 ; 4}
Cette méthode sera réutilisée dans l'étude des fonctions polynômes du second degré.
9. Vérifier les solutions
Toute solution obtenue doit être vérifiée dans l'équation initiale.
(x − 3)(x + 5) = 0
Pour x = 3 :
(3 − 3)(3 + 5)
0 × 8 = 0
✔ Solution correcte
📝 Synthèse
- Le principe du produit nul est fondamental :
si A × B = 0 alors A = 0 ou B = 0.
- Une équation-produit peut avoir plusieurs solutions.
- Avant d'utiliser le produit nul, il faut parfois factoriser.
- Une équation avec fraction nécessite la vérification des valeurs interdites.
- Toute solution doit être vérifiée dans l'équation de départ.
- Les équations factorisées préparent à l'étude du second degré au lycée.
📚 Sources et références
Bulletin officiel de l'Éducation nationale – Programme de mathématiques du cycle 4
Bulletin officiel de l'Éducation nationale – Programme de mathématiques de Seconde générale et technologique
Éduscol – Ressources d'accompagnement en mathématiques : calcul littéral, factorisation et équations
Éduscol – Ressources pour la liaison collège-lycée en algèbre
Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (IREM) – Ressources sur l'enseignement de l'algèbre
Commission française pour l'enseignement des mathématiques (CFEM)
Manuels scolaires de mathématiques Cycle 4 conformes aux programmes de l'Éducation nationale
Manuels scolaires de mathématiques Seconde générale et technologique conformes aux programmes de l'Éducation nationale