📘 Résoudre une équation du premier degré
Une équation du premier degré contient une inconnue dont l'exposant le plus élevé est 1.
Exemples :
- x + 4 = 9
- 3x = 12
- 2x + 5 = 17
- 4x - 7 = x + 8
1. Objectif : trouver la valeur de l'inconnue
Résoudre une équation consiste à déterminer toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.
Équation :
x + 5 = 12
La solution est :
x = 7
2. Le principe fondamental des équations
On obtient une équation équivalente si l'on effectue la même opération dans les deux membres.
Membre gauche
➕ ou ➖ ou ✖️ ou ➗
Même opération
➕
Membre droit
Opérations autorisées :
- Ajouter un même nombre aux deux membres.
- Soustraire un même nombre aux deux membres.
- Multiplier les deux membres par un même nombre non nul.
- Diviser les deux membres par un même nombre non nul.
3. Résoudre une équation de type x + a = b
Pour isoler l'inconnue, on effectue l'opération contraire.
x + 8 = 15
On soustrait 8 dans chaque membre :
x + 8 − 8 = 15 − 8
x = 7
➕ s'annule avec ➖
4. Résoudre une équation de type ax = b
Lorsque l'inconnue est multipliée par un nombre, on divise les deux membres par ce nombre.
5x = 20
On divise par 5 :
5x ÷ 5 = 20 ÷ 5
x = 4
✖️ s'annule avec ➗
5. Résoudre une équation de type ax + b = c
On élimine d'abord le terme constant puis le coefficient de l'inconnue.
3x + 5 = 17
Étape 1 :
3x = 17 − 5
3x = 12
Étape 2 :
x = 12 ÷ 3
x = 4
Retirer b
➡️
ax = ...
➡️
Diviser par a
➡️
Solution
6. Résoudre une équation de type ax + b = cx + d
On regroupe les inconnues d'un côté et les nombres de l'autre.
4x − 3 = x + 12
On retire x :
3x − 3 = 12
On ajoute 3 :
3x = 15
On divise par 3 :
x = 5
Méthode :
- Regrouper les termes contenant x.
- Regrouper les nombres.
- Isoler l'inconnue.
7. Vérifier une solution
Une solution doit toujours être vérifiée en remplaçant l'inconnue dans l'équation de départ.
Équation :
4x − 3 = x + 12
Solution trouvée :
x = 5
Membre gauche :
4 × 5 − 3 = 17
Membre droit :
5 + 12 = 17
17 = 17
✔ Solution correcte
8. Cas particuliers
Aucune solution
2x + 5 = 2x + 9
On retire 2x :
5 = 9
Impossible.
S = ∅
Infinité de solutions
3x + 6 = 3(x + 2)
3x + 6 = 3x + 6
Toujours vrai.
S = ℝ
9. Équations avec fractions
x/4 = 6
On multiplie par 4 :
x = 24
(x + 2)/3 = 5
On multiplie par 3 :
x + 2 = 15
x = 13
10. Erreurs fréquentes
| Erreur |
Pourquoi ? |
| Changer un signe sans justification |
Il faut effectuer la même opération dans les deux membres. |
| Oublier de diviser par le coefficient |
La solution obtenue est fausse. |
| Ne pas vérifier la solution |
Une erreur de calcul peut passer inaperçue. |
| Mélanger inconnues et constantes |
Les termes doivent être regroupés correctement. |
11. Lien avec les fonctions (niveau Seconde)
Résoudre :
2x + 1 = 7
revient à chercher le point d'intersection entre :
La solution de l'équation correspond à l'abscisse du point d'intersection.
📝 Synthèse
- Résoudre une équation consiste à trouver toutes ses solutions.
- On effectue toujours la même opération dans les deux membres.
- Pour résoudre :
- x + a = b → on soustrait a.
- ax = b → on divise par a.
- ax + b = c → on isole d'abord ax.
- ax + b = cx + d → on regroupe les x puis les nombres.
- Une solution doit être vérifiée.
- Une équation peut avoir :
- une solution ;
- aucune solution ;
- une infinité de solutions.
- En Seconde, les équations sont reliées aux fonctions et aux représentations graphiques.
📚 Sources et références
Programme de mathématiques du cycle 4 (classes de 5e, 4e et 3e)
Bulletin officiel de l'Éducation nationale – Cycle 4
Programme de mathématiques de Seconde générale et technologique
Bulletin officiel de l'Éducation nationale
Éduscol – Ressources d'accompagnement : Résolution d'équations et calcul littéral
Éduscol – Ressources pour la liaison collège-lycée en algèbre
Banque nationale de ressources numériques pour l'École (BRNE) – Mathématiques
Manuels scolaires Cycle 4 conformes aux programmes de l'Éducation nationale
Manuels scolaires Seconde générale et technologique conformes aux programmes de l'Éducation nationale
Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (IREM) – Enseignement des équations et de l'algèbre