2. Méthode générale de résolution de problèmes
Étape 1 : Lire attentivement l’énoncé (plusieurs fois si nécessaire).
Étape 2 : Identifier l’inconnue et la nommer (généralement avec x).
Étape 3 : Traduire chaque information en expression mathématique.
Étape 4 : Écrire l’équation ou l’inéquation.
Étape 5 : Résoudre.
Étape 6 : Répondre clairement à la question.
Étape 7 : Vérifier que la solution est réaliste (valeur positive, cohérente avec le contexte).
3. Problèmes conduisant à des équations du 1er degré
📌 Exemple 1 – Partage d’argent (niveau 3ème)
Paul et Marie ont ensemble 84 €. Marie a 12 € de plus que Paul. Combien d’argent possède chacun ?
Solution :
Soit
x = montant de Paul.
Marie = x + 12
x + (x + 12) = 84
2x + 12 = 84 → 2x = 72 → x = 36
Paul :
36 € — Marie :
48 €
📌 Exemple 2 – Âges (classique Seconde)
La somme des âges de Lucas et de sa sœur est 29 ans. Dans 5 ans, Lucas aura deux fois l’âge de sa sœur. Quel est l’âge actuel de Lucas ?
Solution :
Soit
x = âge de Lucas.
Âge de sa sœur = 29 − x
Dans 5 ans : x + 5 = 2(34 − x)
x + 5 = 68 − 2x
3x = 63 → x = 21
Lucas a
21 ans.
📌 Exemple 3 – Tarifs / Formules (comme ton exemple)
On compare deux formules d’abonnement :
- Formule A : 7x euros
- Formule B : 5 + 2x euros
Pour quelles valeurs de x la formule B est-elle plus avantageuse ?
Solution :
On cherche quand B < A → 5 + 2x < 7x
5 < 5x → x > 1
→ À partir de
2 unités (selon le contexte : séances, mois, etc.), la formule B devient plus avantageuse.
📌 Exemple 4 – Problème de vitesse / poursuite
Une voiture roule à 90 km/h. Une autre part 30 minutes plus tard à 110 km/h. Au bout de combien de temps la deuxième rattrape-t-elle la première ?
Solution :
Soit
t le temps en heures après le départ de la 2e voiture.
Distance 1 = 90(t + 0,5)
Distance 2 = 110t
110t = 90(t + 0,5)
20t = 45 → t = 2,25 h =
2h15
📌 Exemple 5 – Problème géométrique (périmètre)
Le périmètre d’un rectangle est de 68 cm. Sa longueur est 12 cm plus grande que sa largeur. Quelles sont les dimensions du rectangle ?
Solution :
Soit
x = largeur (en cm).
Longueur = x + 12
2x + 2(x + 12) = 68
2x + 2x + 24 = 68
4x = 44
x = 11
Largeur =
11 cm — Longueur =
23 cm
📌 Exemple 6 – Problème de mélange
Dans une classe, il y a 8 élèves de plus en 3ᵉ qu’en 2de. Au total, il y a 52 élèves dans ces deux niveaux. Combien y a-t-il d’élèves en 3ᵉ ?
Solution :
Soit
x = nombre d’élèves en 2de.
Nombre en 3ᵉ = x + 8
x + (x + 8) = 52
2x + 8 = 52 → 2x = 44 → x = 22
22 élèves en 2de et
30 élèves en 3ᵉ.
📌 Exemple 7 – Rabais et pourcentage
Un article coûte 80 €. Après une réduction de 15 %, son nouveau prix est 17 € moins cher qu’un autre article. Quel est le prix de l’autre article ?
Solution :
Prix après réduction = 80 × (1 - 0,15) = 68 €
68 = prix autre article - 17
Prix autre article = 68 + 17 =
85 €
📌 Exemple 8 – Inéquation budgétaire
Tu disposes de 150 €. Tu veux acheter au moins 6 cahiers à 5 € chacun. Quel est le nombre maximum de stylos à 4 € que tu peux acheter ?
Solution :
Soit
s = nombre de stylos.
5 × 6 + 4s ≤ 150
30 + 4s ≤ 150 → 4s ≤ 120 → s ≤ 30
Tu peux acheter au maximum
30 stylos.
📌 Exemple 9 – Problème avec trois quantités
La somme des âges de trois frères est 51 ans. L’aîné a 5 ans de plus que le cadet, qui a lui-même 4 ans de plus que le benjamin. Quel est l’âge du benjamin ?
Solution :
Soit
x = âge du benjamin.
Cadet = x + 4
Aîné = x + 4 + 5 = x + 9
x + (x + 4) + (x + 9) = 51
3x + 13 = 51 → 3x = 38 → x ≈ 12,67
Âge du benjamin :
12 ou 13 ans (selon contexte entier).
📌 Exemple 10 – Problème de vitesse (rencontre)
Deux cyclistes partent en même temps de deux villes distantes de 90 km et roulent l’un vers l’autre. Le premier roule à 25 km/h et le second à 35 km/h. Au bout de combien de temps se rencontrent-ils ?
Solution :
Soit
t le temps en heures.
Distance totale parcourue = 25t + 35t = 90
60t = 90 → t = 1,5
Ils se rencontrent au bout de
1h30.
4. Problèmes conduisant à des inéquations du 1er degré
📌 Exemple 1 – Choix de formule (tarif)
Formule A : 25 € + 8 € par séance
Formule B : 45 € + 5 € par séance
À partir de combien de séances la formule B est-elle plus intéressante ?
Solution :
25 + 8x > 45 + 5x
3x > 20 → x > 6,67
→ À partir de
7 séances par mois.
📌 Exemple 2 – Budget
Tu as 120 €. Tu veux acheter des livres à 15 € et des cahiers à 4 €. Tu veux acheter au moins 5 livres. Quel est le nombre maximum de cahiers que tu peux acheter ?
Solution :
Soit
c = nombre de cahiers.
15×5 + 4c ≤ 120
75 + 4c ≤ 120 → 4c ≤ 45 → c ≤ 11,25
→ Maximum
11 cahiers.