📘 Modéliser avec une équation
Les mathématiques permettent de représenter des situations concrètes à l'aide d'équations.
Cette démarche s'appelle la modélisation.
1. Qu'est-ce que modéliser ?
Modéliser consiste à traduire une situation réelle en langage mathématique afin de résoudre un problème.
Situation :
Un abonnement coûte 5 € de frais fixes puis 3 € par mois.
Question :
Combien de mois correspondent à une dépense totale de 20 € ?
Modèle mathématique :
3x + 5 = 20
2. Les étapes de la modélisation
Lire le problème
➡️
Choisir une inconnue
➡️
Écrire l'équation
➡️
Résoudre
➡️
Interpréter
Cette méthode est valable dans tous les domaines :
- géométrie ;
- physique ;
- économie ;
- sciences ;
- vie quotidienne.
3. Choisir l'inconnue
L'inconnue représente la quantité recherchée.
Énoncé :
Léa pense à un nombre. Lorsqu'elle ajoute 8 puis multiplie le résultat par 3, elle obtient 36.
Choix :
Soit x le nombre recherché.
Toujours préciser ce que représente l'inconnue.
4. Traduire un énoncé en expression mathématique
| Phrase |
Traduction |
| Un nombre augmenté de 5 |
x + 5 |
| Le double d'un nombre |
2x |
| Le tiers d'un nombre |
x / 3 |
| Le carré d'un nombre |
x² |
| Un nombre diminué de 8 |
x − 8 |
| La moitié d'un nombre |
x / 2 |
5. Mettre un problème en équation
Énoncé :
Un nombre augmenté de 7 donne 25.
Inconnue :
x = nombre recherché
Équation :
x + 7 = 25
Solution :
x = 18
6. Exemple complet : problème de partage
Emma possède deux fois plus de billes que Lucas.
Ensemble, ils ont 36 billes.
Étape 1 :
Soit x le nombre de billes de Lucas.
Étape 2 :
Emma possède 2x billes.
Étape 3 :
Total :
x + 2x = 36
Étape 4 :
3x = 36
x = 12
Lucas possède 12 billes.
Emma possède 24 billes.
7. Modéliser en géométrie
Un rectangle a une longueur de 12 cm.
Son périmètre est 34 cm.
Quelle est sa largeur ?
Soit x la largeur.
P = 2(L + l)
2(12 + x) = 34
24 + 2x = 34
2x = 10
x = 5
Largeur : 5 cm
8. Modéliser avec une formule
Certaines situations utilisent directement une formule mathématique.
Distance :
d = v × t
Une voiture roule à 80 km/h.
Elle parcourt 240 km.
Inconnue :
t
80t = 240
t = 3
Durée : 3 h
9. Vérifier et interpréter la solution
Une solution mathématique doit toujours être vérifiée et interprétée dans le contexte.
Vérifier :
- qu'elle satisfait l'équation ;
- qu'elle est réaliste ;
- qu'elle répond à la question posée.
Une longueur trouvée égale à −5 cm est impossible.
Même si le calcul est correct, cette solution n'a pas de sens dans la situation étudiée.
10. Erreurs fréquentes
| Erreur |
Conséquence |
| Choisir une mauvaise inconnue |
Équation difficile ou incorrecte |
| Oublier une information |
Modèle incomplet |
| Mal traduire une phrase |
Équation fausse |
| Ne pas vérifier la solution |
Réponse incohérente |
| Oublier l'unité |
Interprétation incorrecte |
11. Lien avec les fonctions (niveau Seconde)
En Seconde, de nombreux problèmes sont modélisés à l'aide de fonctions.
Coût d'un abonnement :
C(x)=5+3x
Chercher quand le coût vaut 20 € revient à résoudre :
5 + 3x = 20
Les équations et les fonctions sont deux outils complémentaires pour modéliser une situation.
📝 Synthèse
- Modéliser consiste à traduire une situation réelle en langage mathématique.
- La démarche est :
- choisir une inconnue ;
- écrire une équation ;
- résoudre ;
- interpréter la solution.
- Une équation est un modèle mathématique d'une situation réelle.
- Les formules et les fonctions permettent également de modéliser des phénomènes.
- Une solution doit toujours avoir un sens dans le contexte étudié.
📚 Sources et références
Programme de mathématiques du cycle 4 – Bulletin officiel de l'Éducation nationale
Programme de mathématiques de Seconde générale et technologique – Bulletin officiel de l'Éducation nationale
Éduscol – Ressources d'accompagnement : résolution de problèmes et modélisation
Éduscol – Ressources collège-lycée : algèbre et mise en équation
Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (IREM) – Ressources sur la modélisation mathématique
Commission française pour l'enseignement des mathématiques (CFEM)
Manuels scolaires de mathématiques Cycle 4 conformes aux programmes de l'Éducation nationale
Manuels scolaires de mathématiques Seconde générale et technologique conformes aux programmes de l'Éducation nationale