📘 Comprendre une équation
Ce chapitre permet de comprendre ce qu'est une équation, comment reconnaître ses éléments et comment déterminer si un nombre est une solution.
1. Qu'est-ce qu'une équation ?
Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs lettres représentant des nombres inconnus.
Exemples :
- x + 5 = 12
- 3x - 4 = 11
- 2a + 7 = 15
Une équation est une question mathématique :
Pour quelle valeur de l'inconnue l'égalité devient-elle vraie ?
2. Les éléments d'une équation
Dans l'équation :
3x + 2 = 14
| Élément |
Nom |
| 3x + 2 |
Membre de gauche |
| 14 |
Membre de droite |
| x |
Inconnue |
| = |
Signe d'égalité |
Membre gauche
➡️
=
➡️
Membre droit
3. L'inconnue
L'
inconnue est le nombre que l'on cherche.
Elle est souvent notée :
Exemple :
x + 8 = 15
On cherche la valeur de x.
4. Qu'est-ce qu'une solution ?
Une solution est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.
Équation :
x + 5 = 12
Si x = 7 :
7 + 5 = 12
12 = 12
L'égalité est vraie.
7 est donc une solution.
5. Vérifier si un nombre est solution
Pour vérifier une solution :
- Remplacer l'inconnue par le nombre proposé.
- Calculer les deux membres.
- Comparer les résultats.
Vérifier si 4 est solution de :
3x + 2 = 14
On remplace x par 4 :
3 × 4 + 2 = 14
12 + 2 = 14
14 = 14
✔ 4 est une solution.
Vérifier si 3 est solution :
3 × 3 + 2 = 14
11 = 14
✘ L'égalité est fausse.
3 n'est pas solution.
6. Ensemble des solutions
L'ensemble des solutions regroupe toutes les valeurs qui vérifient l'équation.
| Situation |
Ensemble des solutions |
| Une solution |
S = {4} |
| Plusieurs solutions |
S = {1 ; 3} |
| Aucune solution |
S = ∅ |
| Tous les nombres |
S = ℝ |
7. Équations vraies et fausses
Égalité toujours vraie :
x + 3 = 3 + x
Quel que soit x.
→ infinité de solutions.
Égalité impossible :
x + 5 = x + 8
On retire x des deux côtés :
5 = 8
Impossible.
→ aucune solution.
8. Équations équivalentes
Deux équations sont équivalentes lorsqu'elles possèdent exactement les mêmes solutions.
x + 5 = 12
et
x = 7
ont la même solution.
Ces deux équations sont équivalentes.
Équation initiale
➡️
Transformation autorisée
➡️
Équation équivalente
➡️
Même solution
9. Pourquoi résoudre une équation ?
Un abonnement coûte :
5 € de frais fixes
+ 3 € par mois.
Après combien de mois aura-t-on payé 20 € ?
On traduit :
3x + 5 = 20
L'équation permet de modéliser le problème.
📝 Synthèse
- Une équation est une égalité contenant une inconnue.
- L'inconnue représente un nombre recherché.
- Une solution rend l'égalité vraie.
- Pour vérifier une solution, on remplace l'inconnue puis on calcule.
- L'ensemble des solutions regroupe toutes les solutions de l'équation.
- Une équation peut avoir :
- une solution ;
- plusieurs solutions ;
- aucune solution ;
- une infinité de solutions.
- Deux équations équivalentes possèdent exactement les mêmes solutions.
- Les équations servent à modéliser et résoudre des problèmes.
📚 Sources et références
Programme de mathématiques du cycle 4 (classes de 5e, 4e et 3e)
Bulletin officiel de l'Éducation nationale – Cycle 4
Programme de mathématiques de Seconde générale et technologique
Bulletin officiel de l'Éducation nationale
Éduscol – Ressources d'accompagnement en mathématiques : Nombres et calculs, calcul littéral et équations
Manuels scolaires de mathématiques Cycle 4 conformes aux programmes de l'Éducation nationale
Manuels scolaires de mathématiques Seconde générale et technologique conformes aux programmes de l'Éducation nationale
Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (IREM) – Ressources sur l'enseignement de l'algèbre
Commission française pour l'enseignement des mathématiques (CFEM)